Du har listat sevärdheter i London. Jag undrade om du ville se något utanför London.
Rent spontant så kom jag att tänka på Oxford (liten anknytning till HP), men där finns inga centrala campingplatser, och det är inte så himla kul att köra bil där heller. Även om London är värre. Du kanske kan titta på campingplatser som finns i bland annat Banbury och se om du hittar något hyfsat centralt. Då kan du ta tåget både till London och Oxford.
Annars skulle jag rekommendera att du åker till Sussex (ett grevskap i närheten av Dover, Kent). Du skulle till exempel kunna campa i Hastings. En trevlig kuststad med goda förbindelser till London, och övriga ställen i den delen av England. Naturskönt och mycket historia också.
Vill du ha kortare restid till London, och billigare biljetter om du ska pendla mycket, så kan jag komma med andra förslag.